2.1 Systems of Linear Equations
2.1 Systems of Linear Equations
선형 방정식 시스템은 선형대수에서 중요한 역할을 합니다. 많은 문제가 선형 방정식으로 표현이 가능하고 선형대수는 방정식을 풀 수 있는 도구를 제공합니다.
Example 2.1
한 회사는 $R_{1}, ..., R_{m}$ 자원을 필요로 하는 제품 $N_{1}, ..., N_{n}$을 생산하였습니다. 제품 $N_{j}$의 기본 단위를 생산하기 위해, $R_{i}$가 $a_{ij}$ 만큼 필요하다고 해 봅시다. i=1, ... m, j=1, ..., n 최적의 생산 라인을 찾는 것이 목적이라면 즉, 전체 $b_{i}$ 단위의 자원 $R_{i}$만 가능하다고 할때, 얼마나 많은 제품 $N_j$의 단위 $x_j$가 생산될 수 있는지를 찾는 것이 목표가 될 수 있습니다. 만약에, $x_{1}, ..., x_{n}$ 단위의 제품을 생성한다면,
$$a_{i1}x_{1} + ... + a_{in}x_{n}$$
많은 단위의 자원 $R_{i}$이 필요하다고 말할 수 있습니다. 최적의 생산 계획은 $(x_{1} , ..., x_{n}) \in \mathbb{R}^n $, 아래와 같은 방정식을 만족해야 합니다. $ a_{ij} \in \mathbb{R}, b_{i} \in \mathbb{R} $
$$
\begin{gathered}
a_{11} x_{1}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=b_{1} \\
\vdots \\
a_{m 1} x_{1}+\cdots+a_{m n} x_{n}=b_{m}
\end{gathered}
$$
식 (2.3)
식 (2.3)은 선형 방정식의 일반적인 형태입니다. 그리고, $x_{1} , ..., x_{n}$은 식의 미지수 입니다. 식 (2.3)을 만족하는 모든 n-튜플 $(x_{1} , ..., x_{n}) \in \mathbb{R}^n $ 은 선형 방정식의 해 입니다.
(※ $a_{1j} * R_{1} + a_{2j} * R_{2} + ... + a_{mj} * R_{m} = N_{j} $)
Example 2.2
아래의 선형 시스템은 해가 없습니다. (1), (2) 식을 더하면 $2x_{1} + 3x_{3} = 5$를 얻는데 이는 (3) 식과 모순이기 때문입니다.
$$
\begin{aligned}
&x_{1}+x_{2}+x_{3}=3\\
&x_{1}-x_{2}+2 x_{3}=2\\
&2 x_{1}+3 x_{3}=1
\end{aligned}
$$
다음 선형 식의 경우,
$$
\begin{aligned}
&x_{1}+x_{2}+x_{3}=3 \\
&x_{1}-x_{2}+2 x_{3}=2 \\
&x_{2}+x_{3}=2
\end{aligned}
$$
(1), (3)식으로 부터 $x_{1} = 1$을 얻습니다. (1) + (2)로 부터 $2x_{1} + 3x_{3} = 5$ 즉 $x_{3} = 1$ 입니다. (3)으로 부터 $x_{2} = 1$을 얻습니다. 따라서, (1, 1, 1)은 유일한 해 입니다.
세 번째 예시로,
$$
\begin{aligned}
&x_{1}+x_{2}+x_{3}=3\\
&x_{1}-x_{2}+2 x_{3}=2\\
&2 x_{1}+3 x_{3}=5
\end{aligned}
$$
(1) + (2) = (3) 이기 때문에 3번째 식은 생략 될 수 있다. (1)(2) 때문에 $2x_{1} = 5-3x_{3}$ 와 $2x_{1} = 1+x_{3}$ 을 얻을 수 있고, $x3 = a \in R$ 을 자유 변수로 두면 삼중항을 얻을 수 있다.
$$
\left(\frac{5}{2}-\frac{3}{2} a, \frac{1}{2}+\frac{1}{2} a, a\right), \quad a \in \mathbb{R}
$$
위의 삼중항은 선형 방정식의 해가 됩니다. 즉, 무한의 해를 가진 해 집합을 얻습니다.
일반적으로 실수 값의 선형 방적식은 해가 없거나, 유일하거나, 무한의 해를 가집니다. 선형 회귀(Chaper9) 는 Example 2.1과 같이 선형 방정식의 해를 구할 수 없을 때 해를 구하는 방법입니다.
주목(선형 방정식의 기하학적인 해석). 두 변수 $x_{1}, x_{2}$를 가지는 선형식에서 선형 방정식은 $x_{1} x_{2}$ 평면에 놓여있습니다. 해는 두 선형 방적식을 모두 만족해야 하므로, 해 집합은 두 선의 교집합에 있습니다. 교집합은 선이 될 수도 있고(두 선이 동일할 경우), 점이 될 수도 있고, 없을 수도 있습니다(두 선이 평행한 경우). 그림 2.3에서 주어진 시스템을 보면, 해 공간은 $(x_{1}, x_{2}) = (1, {{1}\over{4}}) $ 입니다.
$$
\begin{aligned}
&4x_{1}+4x_{2}=5\\
&2x_{1}-4 x_{2}=1
\end{aligned}
$$
유사하게, 삼 변수의 경우 각 선은 3차원 공간을 결정합니다. 모든 선형 방정식을 만족하는 평면을 교차할 때, 해 집합을 얻을 수 있고 해는 평면, 선, 점 혹은 없을 수도 있습니다.
선형 방정식을 풀기 위한 시스템적인 접근을 위해 간단하지만 유용한 표현을 소개한다. 계수 $a_{ij}$를 벡터로 한 대 모으고, 이 벡터들을 행렬로 다시 모읍니다. 즉, 식 (2.3)은 다음과 같은 형태로 적을 수 있습니다.
$$
\left[\begin{array}{c}
a_{11} \\
\vdots \\
a_{m 1}
\end{array}\right] x_{1}+\left[\begin{array}{c}
a_{12} \\
\vdots \\
a_{m 2}
\end{array}\right] x_{2}+\cdots+\left[\begin{array}{c}
a_{1 n} \\
\vdots \\
a_{m n}
\end{array}\right] x_{n}=\left[\begin{array}{c}
b_{1} \\
\vdots \\
b_{m}
\end{array}\right]
$$
$$
\Longleftrightarrow\left[\begin{array}{ccc}
a_{11} & \cdots & a_{1 n} \\
\vdots & & \vdots \\
a_{m 1} & \cdots & a_{m n}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
x_{1} \\
\vdots \\
x_{n}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
b_{1} \\
\vdots \\
b_{m}
\end{array}\right]
$$
(※ 선형 방정식을 Ax = b 형태로 표현하였습니다)
다음 챕터 부터는 이 행렬을 자세하게 들여다 볼 것입니다. 그리고 계산 규칙을 정의할 것입니다. 그리고 2.3 절로 다시 돌아올 것입니다.